一次関数・日常生活の具体例

身近な例でわかる「y = ax + b」

はじめに

一次関数は、ものごとの「増え方」や「減り方」が一定であるときに使える、とても便利な考え方です。

一次関数の基本の形は、次の式で表されます。

y = ax + b

ここで、x は原因や入力、y は結果や出力を表します。たとえば、「買った個数」が x、「合計金額」が y になるような場面です。

また、a は「x が 1 増えたときに y がどれだけ増えるか」を表します。これを傾き、または変化の割合といいます。b は、x = 0 のときの値です。スタート時点の量、固定費、初期費用などを表すことが多いです。

一次関数は、学校の数学だけでなく、買い物、交通費、電気代、作業時間、温度換算など、日常生活のさまざまな場面で見つけることができます。

この記事では、「一次関数・日常生活の具体例」というテーマで、身近な場面にどのように一次関数が使われているのかを、できるだけわかりやすく解説します。

一次関数の基本

一次関数の式

一次関数は、基本的に次の形で表されます。

y = ax + b

この式の中で、それぞれの文字には次のような意味があります。

• x：原因や入力になる数
• y：結果として出てくる数
• a：x が 1 増えたときの y の増え方
• b：x が 0 のときの y の値

たとえば、1 個 100 円のお菓子を買う場合、個数を x、合計金額を y とすると、送料や手数料がなければ、

y = 100x

と表せます。

これは b = 0 の場合で、比例の関係です。

一方、送料が 500 円かかる場合は、

y = 100x + 500

となります。この場合、500 は送料という固定費です。個数が 0 個でも、式の上では 500 円が残るため、これが切片 b にあたります。

比例と一次関数の違い

比例は、一次関数の特別な形です。

• 比例：y = ax
• 一次関数：y = ax + b

比例では、x = 0 のとき、必ず y = 0 になります。

たとえば、1 個 100 円の商品を買う場合、0 個なら合計金額は 0 円です。このような関係は比例です。

一方、基本料金や送料、初期費用などがある場合は、x = 0 でも y が 0 にならないことがあります。このような場合は、一次関数として考えるとわかりやすくなります。

一次関数を見つけるコツ

日常生活の中で一次関数を見つけるときは、次の2つを考えるとわかりやすくなります。

• 1つ増えると、いつも同じだけ増えるか
• 最初から決まっている金額や量があるか

たとえば、1枚 10 円のコピーを取る場合、コピーの枚数が1枚増えるごとに金額は10円ずつ増えます。これは「増え方が一定」です。

さらに、もし最初に機械使用料として100円かかるなら、その100円が b にあたります。

このように考えると、身近な場面の中に一次関数がたくさんあることが見えてきます。

一次関数の日常生活の具体例

1. 買い物の合計金額

買い物の合計金額は、一次関数の代表的な例です。

たとえば、1個 350 円の商品を x 個買い、送料が 500 円かかる場合、合計金額 y は次のように表せます。

y = 350x + 500

この式では、350 が商品の単価です。つまり、商品を1個増やすごとに、合計金額は350円ずつ増えます。

一方、500 は送料です。商品を何個買っても固定でかかる金額なので、切片 b にあたります。

たとえば、3個買う場合は、

y = 350 × 3 + 500 = 1550

となり、合計金額は 1,550 円です。

このように、「単価 × 個数 + 固定費」という形は、一次関数として考えやすい例です。

2. タクシー料金

タクシー料金も、一次関数に近い形で考えることができます。

実際のタクシー料金は、一定距離ごとに加算されるため、厳密にはなめらかな直線ではなく、階段のように増えていきます。ただし、全体の傾向を大まかに見る場合には、一次関数として近似できます。

たとえば、初乗り料金が 500 円、1 km あたりおよそ 200 円ずつ増えると考えると、走行距離を x km、料金を y 円として、

y = 200x + 500

と表せます。

3 km 乗った場合は、

y = 200 × 3 + 500 = 1100

となり、料金はおよそ 1,100 円と考えられます。

実際には、地域、時間帯、信号待ち、深夜割増などによって料金は変わります。そのため、タクシー料金は「完全な一次関数」ではなく、「一次関数で近似できる例」と考えるとよいでしょう。

3. 駐車料金

駐車料金も、一次関数で考えやすい例です。

たとえば、基本料金が 100 円で、1時間ごとに 200 円かかる駐車場があるとします。利用時間を x 時間、料金を y 円とすると、

y = 200x + 100

と表せます。

2.5 時間利用した場合は、

y = 200 × 2.5 + 100 = 600

となり、料金は 600 円です。

ただし、実際の駐車場では「30分ごとに100円」「最大料金1,000円」「最初の1時間無料」などの仕組みがあることも多いです。この場合、グラフは1本の直線ではなく、途中で変化する折れ線のようになります。

それでも、一定の範囲だけに注目すれば、一次関数として考えることができます。

4. スマートフォンの料金

スマートフォンの料金にも、一次関数の考え方が使えます。

たとえば、基本料金が 2,000 円で、データ容量を超えた分について 1GB あたり 500 円かかるプランがあるとします。追加で使ったデータ量を x GB、料金を y 円とすると、

y = 500x + 2000

と表せます。

追加で 3GB 使った場合は、

y = 500 × 3 + 2000 = 3500

となり、合計料金は 3,500 円です。

ただし、スマホ料金には定額制、段階制、割引、家族割、キャンペーンなどがあるため、実際の料金はもっと複雑です。一次関数として考える場合は、「追加分だけ」「一定の範囲だけ」のように条件を区切ることが大切です。

5. 電気料金

電気料金も、基本料金と使用量に応じた料金に分けて考えることができます。

たとえば、基本料金が 1,000 円、電気の使用量 1kWh あたり 30 円かかるとします。使用量を x kWh、料金を y 円とすると、

y = 30x + 1000

と表せます。

150kWh 使った場合は、

y = 30 × 150 + 1000 = 5500

となり、料金は 5,500 円です。

実際の電気料金には、燃料費調整額、再生可能エネルギー発電促進賦課金、段階制料金などが含まれることがあります。そのため、正確な料金計算は電力会社の料金表を見る必要があります。

しかし、「基本料金 + 使用量に応じた料金」という考え方は、一次関数の理解にとても役立ちます。

6. 水道料金

水道料金も、一次関数に近い形で考えることができます。

たとえば、基本料金が 1,000 円で、水の使用量 1m³ あたり 150 円かかるとします。使用水量を x m³、料金を y 円とすると、

y = 150x + 1000

と表せます。

10m³ 使った場合は、

y = 150 × 10 + 1000 = 2500

となり、料金は 2,500 円です。

水道料金も、実際には使用量によって単価が変わる段階制になっていることが多いです。そのため、すべての使用量を1つの一次関数で表せるわけではありません。

ただし、「ある使用量の範囲では同じ単価」と考えれば、その範囲では一次関数として扱うことができます。

7. 一定の速さで進む距離

一定の速さで移動する場合、時間と距離の関係は一次関数になります。

たとえば、時速 4 km で歩くとします。歩いた時間を x 時間、進んだ距離を y km とすると、

y = 4x

と表せます。

45分歩いた場合、45分は 0.75 時間なので、

y = 4 × 0.75 = 3

となり、3 km 進んだことになります。

この例では、b = 0 です。つまり、時間が 0 のとき、進んだ距離も 0 です。そのため、これは比例の例でもあります。

一次関数の中でも、切片が 0 のものが比例です。

8. ガソリン代と移動距離

車で移動するときのガソリン代も、一次関数として考えることができます。

たとえば、車の燃費が 15 km/L、ガソリン価格が 1L あたり 170 円だとします。この場合、1 km 走るためにかかるガソリン代は、

170 ÷ 15 ≒ 11.3

となり、およそ 11.3 円です。

移動距離を x km、ガソリン代を y 円とすると、

y = 11.3x

と表せます。

90 km 走った場合は、

y = 11.3 × 90 ≒ 1017

となり、ガソリン代はおよそ 1,017 円です。

もし駐車場代 600 円も含めて考えるなら、

y = 11.3x + 600

となります。

このように、変動する費用と固定費を分けて考えると、一次関数の形が見えやすくなります。

9. 両替や送金の計算

両替や海外送金でも、一次関数の考え方が使われます。

たとえば、1ドル = 150円として、日本円を米ドルに両替する場合を考えます。両替する日本円を x 円、受け取る米ドルを y ドルとすると、手数料がなければ、

y = x ÷ 150

と表せます。

これは、

y = (1/150)x

とも書けます。

もし固定手数料として 500 円が差し引かれるなら、

y = (x - 500) ÷ 150

となります。

たとえば、30,500 円を両替し、手数料が 500 円なら、実際に両替される金額は 30,000 円です。

y = 30000 ÷ 150 = 200

つまり、受け取る金額は 200 ドルです。

為替レートは日々変化するため、現実の両替では常に同じ式が使えるわけではありません。しかし、「金額 × レート」や「金額 ÷ レート」に固定手数料が加わる考え方は、一次関数とよく似ています。

10. 印刷やコピーの料金

印刷やコピーの料金も、一次関数の代表的な例です。

たとえば、印刷の準備費用が 1,200 円、1枚あたりの印刷代が 8 円だとします。印刷枚数を x 枚、費用を y 円とすると、

y = 8x + 1200

と表せます。

80枚印刷する場合は、

y = 8 × 80 + 1200 = 1840

となり、費用は 1,840 円です。

この場合、8 は1枚増えるごとの費用、1200 は準備費用です。

家庭用のコピー機では準備費用がない場合もあります。その場合は、

y = 8x

のように比例になります。

11. 料理の材料の量

料理の計量にも、一次関数の考え方が使えます。

たとえば、砂糖大さじ1杯が 12g だとします。大さじの杯数を x 杯、砂糖の重さを y g とすると、

y = 12x

と表せます。

2.5杯なら、

y = 12 × 2.5 = 30

となり、砂糖の重さは 30g です。

この例は比例です。大さじの杯数が 0 なら、砂糖の重さも 0g になるからです。

料理では、2人分のレシピを4人分に増やすときなどにも、比例や一次関数の考え方が役立ちます。

12. 摂氏と華氏の温度換算

温度換算は、一次関数のとてもわかりやすい例です。

摂氏を x ℃、華氏を y ℉ とすると、次の式で表せます。

y = 1.8x + 32

たとえば、摂氏 25 ℃を華氏に直すと、

y = 1.8 × 25 + 32 = 77

となり、77 ℉です。

この式では、1.8 が傾き、32 が切片です。

摂氏 0 ℃のとき、華氏は 32 ℉です。つまり、x = 0 のとき y = 32 なので、切片が 32 になります。

温度換算のような単位の変換では、一次関数がよく使われます。

13. 作業時間の見積もり

作業時間を見積もるときにも、一次関数は便利です。

たとえば、作業前の準備に 20 分かかり、1件あたりの作業に 12 分かかるとします。作業件数を x 件、総時間を y 分とすると、

y = 12x + 20

と表せます。

5件作業する場合は、

y = 12 × 5 + 20 = 80

となり、総時間は 80 分です。

このような考え方は、宿題、仕事、掃除、商品の梱包、書類作成など、いろいろな場面で使えます。

「1件あたりの時間」と「最初にかかる準備時間」を分けて考えると、見積もりがしやすくなります。

14. ポイント付与

買い物のポイントも、一次関数として考えることができます。

たとえば、購入金額の 1% がポイントとして付与され、さらに初回ボーナスとして 500 ポイントもらえるとします。購入金額を x 円、ポイントを y ポイントとすると、

y = 0.01x + 500

と表せます。

10,000 円の買い物をした場合は、

y = 0.01 × 10000 + 500 = 600

となり、600 ポイントがもらえます。

この場合、0.01 は還元率、500 は初回ボーナスです。

ただし、実際のポイント制度では、小数点以下が切り捨てられたり、上限があったり、キャンペーン条件があったりします。そのため、正確には一次関数にならない場合もあります。

それでも、「利用額が増えるほどポイントも一定の割合で増える」という考え方は、一次関数に近いものです。

15. 貯金の増え方

毎月同じ金額を貯金する場合も、一次関数で表せます。

たとえば、最初に 10,000 円の貯金があり、毎月 3,000 円ずつ貯金するとします。月数を x、貯金額を y 円とすると、

y = 3000x + 10000

と表せます。

5か月後には、

y = 3000 × 5 + 10000 = 25000

となり、貯金額は 25,000 円です。

この例では、3000 が毎月の貯金額、10000 が最初にあった貯金額です。

貯金や積み立てのように、一定の金額を定期的に増やしていく場面では、一次関数がよく使えます。

16. ろうそくの長さと時間

ろうそくが一定の速さで燃える場合、残りの長さと時間の関係も一次関数になります。

たとえば、最初の長さが 20 cm のろうそくが、1時間に 2 cm ずつ短くなるとします。燃えた時間を x 時間、残りの長さを y cm とすると、

y = 20 - 2x

と表せます。

これは、

y = -2x + 20

と同じです。

3時間後には、

y = -2 × 3 + 20 = 14

となり、残りの長さは 14 cm です。

この例では、傾きがマイナスです。時間が増えるほど、ろうそくの長さは減っていくからです。

一次関数は、増える場合だけでなく、減る場合にも使えます。

一次関数で考えるときの注意点

現実は完全な直線にならないことも多い

日常生活の中には、一次関数に見えるものがたくさんあります。しかし、現実の仕組みは、必ずしも完全な直線になるとは限りません。

たとえば、電気料金や水道料金は、使用量が増えると単価が変わることがあります。駐車料金には最大料金があることもあります。スマホ料金には定額制や段階制があります。

このような場合、1本の直線ではなく、いくつかの直線をつなげたような形になります。これを区分的な直線、または折れ線的な関係と考えることができます。

範囲を決めると一次関数として考えやすい

現実の料金や制度が複雑でも、「この範囲だけ」と決めれば、一次関数として考えやすくなることがあります。

たとえば、電気料金が段階制であっても、ある使用量の範囲では同じ単価が使われることがあります。その範囲だけを見れば、

料金 = 単価 × 使用量 + 基本料金

という形で考えられます。

一次関数は、現実を完全に表すためだけでなく、現実をわかりやすく整理するためにも使われます。

単位をそろえることが大切

一次関数を使うときには、単位をそろえることが大切です。

たとえば、速さが「時速 km」で表されているなら、時間は「時間」で計算する必要があります。

45分をそのまま 45 として計算してしまうと、正しい答えになりません。45分は、

45 ÷ 60 = 0.75

なので、0.75時間として計算します。

また、距離の単位が km なのか m なのか、料金の単位が円なのかドルなのかも確認する必要があります。

単位をそろえると、傾きの意味もわかりやすくなります。

例題で確認しよう

例題1：ネット通販の料金

1冊 1,280 円の本を x 冊買います。送料は 450 円です。合計金額を y 円として、一次関数の式で表し、5冊買ったときの金額を求めます。

式

y = 1280x + 450

計算

y = 1280 × 5 + 450 = 6850

したがって、5冊買ったときの合計金額は 6,850 円です。

この式では、1280 が本1冊の値段、450 が送料です。

例題2：歩いた距離

時速 4.5 km で歩きます。歩いた時間を x 時間、距離を y km とします。1時間20分歩いたときの距離を求めます。

式

y = 4.5x

1時間20分は、1時間と3分の1時間なので、

1時間20分 = 4/3 時間

です。

計算

y = 4.5 × 4/3 = 6

したがって、歩いた距離は 6 km です。

例題3：駐車料金と割引券

基本料金が 200 円、1時間あたり 180 円の駐車場があります。2時間分無料になる割引券を使うとします。駐車時間を x 時間、料金を y 円として、3時間駐車したときの料金を求めます。

2時間分の割引は、

180 × 2 = 360

なので、360円分の割引です。

式

y = 180x + 200 - 360

つまり、

y = 180x - 160

となります。

3時間駐車した場合は、

y = 180 × 3 - 160 = 380

したがって、料金は 380 円です。

ただし、実際の駐車場では「料金が0円未満にはならない」などの条件があります。そのため、この式は割引が適用される範囲で考える必要があります。

ミニ演習

問題1

1冊 420 円のノートを x 冊買います。送料は 300 円です。合計金額を y 円として式で表し、7冊買ったときの金額を求めましょう。

答え

y = 420x + 300

y = 420 × 7 + 300 = 3240

答えは 3,240 円です。

問題2

ガソリン価格が 1L あたり 175 円、車の燃費が 14 km/L です。距離 x km を走るときの燃料費 y 円を式で表しましょう。

答え

1 km あたりの燃料費は、

175 ÷ 14 = 12.5

なので、

y = 12.5x

となります。

問題3

コピーの準備費用が 800 円、1枚あたり 12 円です。x 枚コピーするときの費用を y 円として式で表し、150枚コピーしたときの金額を求めましょう。

答え

y = 12x + 800

y = 12 × 150 + 800 = 2600

答えは 2,600 円です。

問題4

摂氏 x ℃を華氏 y ℉に直す式を表し、25 ℃と -10 ℃を華氏に直しましょう。

答え

y = 1.8x + 32

25 ℃のとき、

y = 1.8 × 25 + 32 = 77

なので、77 ℉です。

-10 ℃のとき、

y = 1.8 × (-10) + 32 = 14

なので、14 ℉です。

問題5

作業前の準備に 24 分かかり、1件あたりの作業時間は 18 分です。x 件の作業にかかる総時間を y 分として式で表し、9件作業したときの時間を求めましょう。

答え

y = 18x + 24

y = 18 × 9 + 24 = 186

答えは 186 分です。

一次関数チェックリスト

一次関数かどうかを考えるときは、次の点を確認するとわかりやすくなります。

• 1つ増えると、いつも同じだけ増えるか
• 1つ増えると、いつも同じだけ減るか
• 最初から決まっている固定費や初期値があるか
• x = 0 のときの y は何か
• 単位はそろっているか
• 途中で料金やルールが変わらないか
• 上限、無料枠、割引、段階制がないか

このチェックリストを使うと、身近な場面が一次関数で表せるかどうかを判断しやすくなります。

用語まとめ

一次関数

一次関数とは、y = ax + b の形で表される関数です。グラフにすると直線になります。

比例

比例とは、y = ax の形で表される関係です。一次関数の中でも、b = 0 の特別な場合です。

傾き

傾きとは、x が 1 増えたときに、y がどれだけ増えるか、または減るかを表す数です。変化の割合ともいいます。

切片

切片とは、x = 0 のときの y の値です。日常生活では、固定費、初期費用、最初の量などとして表れることがあります。

区分的な直線

料金や制度が途中で変わる場合、1本の直線ではなく、いくつかの直線をつなげたような形になります。これを区分的な直線として考えることができます。

トリビア

摂氏と華氏は一次関数でつながっている

摂氏と華氏の換算式は、

y = 1.8x + 32

です。

これは、摂氏と華氏という2つの温度の目盛りが、一次関数の関係で結びついていることを表しています。

摂氏では、水が凍る温度を 0 ℃、水が沸騰する温度を 100 ℃とします。一方、華氏では、水が凍る温度は 32 ℉、水が沸騰する温度は 212 ℉です。

摂氏で 0 ℃から 100 ℃までの差は 100 度ですが、華氏では 32 ℉から 212 ℉までの差が 180 度です。

そのため、摂氏 1 度の変化は、華氏では 1.8 度の変化になります。そして、摂氏 0 ℃が華氏 32 ℉にあたるため、式に +32 が入ります。

英語では linear function と呼ばれる

日本語では「一次関数」といいますが、英語では linear function と呼ばれます。

linear は「直線の」「直線的な」という意味です。一次関数のグラフは直線になるため、とてもわかりやすい名前です。

数学だけでなく、物理、経済、コンピューター、音楽、データ分析など、さまざまな分野で linear という言葉が使われます。

傾きがマイナスになる一次関数もある

一次関数というと、右上がりのグラフを思い浮かべる人が多いかもしれません。しかし、一次関数には右下がりのグラフもあります。

たとえば、ろうそくの長さ、スマホのバッテリー残量、貯水タンクの水の量などは、時間がたつにつれて減っていくことがあります。

このような場合、式は次のようになります。

y = -ax + b

傾きがマイナスになることで、「時間が増えるほど、量が減る」という関係を表すことができます。

一次関数は、増える場面だけでなく、減る場面にも使えるのです。

おわりに

一次関数は、学校の数学だけで使うものではありません。買い物の合計金額、タクシー料金、駐車料金、スマホ料金、電気代、作業時間、温度換算など、日常生活のさまざまな場面に一次関数の考え方が隠れています。

一次関数を理解するポイントは、次の2つです。

• 1つ増えると、どれだけ増えるか
• 最初から決まっている値はあるか

この2つを考えると、y = ax + b の意味が見えてきます。

現実の料金や制度は、段階制、上限、割引、無料枠などがあり、完全な一次関数にならないこともあります。しかし、一定の範囲だけを切り取れば、一次関数として考えられる場面はたくさんあります。

一次関数は、複雑な現実をシンプルに整理するための便利な道具です。身の回りの「一定の増え方」や「一定の減り方」に注目すると、数学が生活の中でどのように役立っているのかがわかりやすくなります。