二次関数・身近な例

二次関数（ y = a x^2 + b x + c ）は、グラフが放物線になる関数です。頂点（いちばん高い／低い点）、軸（左右対称の線）、開きの向き（ a>0 なら上に開く、 a<0 なら下に開く）が特徴。頂点の x 座標は -b/(2a)。最大値・最小値や最適解を一発で見つけられるのが強みです。ここでは、学校の外でも役に立つ「二次関数＝放物線」の実例と、すぐ試せる観察・ミニ実験、なぜ二次になるのかの直感まで、ギュッとまとめます。

1) 投げたボール／噴水の水の軌道（放物運動）🎯

• 現象：ボールを投げる、ホースの水を斜めに噴くと、軌道は放物線になります。
• モデル：水平距離を x、高さを y とすると y = -( g / ( 2 v0^2 cos(θ)^2 ) ) x^2 + x tan(θ) + h （初速 v0、角度 θ、初期高さ h、重力加速度 g）
• 直感：横方向は等速、縦方向は等加速度（重力）→合体すると二次。
• ミニ実験：スマホのスロー撮影で軌跡をフレームごとに点取り→近似放物線を描く。

2) 自転車・車の制動距離は速度の二乗にほぼ比例 🚲🚗

• 現象：同じ路面・ブレーキ条件では、止まるまでの距離 d は速度 v の二乗で増えます（空走距離は別）。 d ∝ v^2
• 直感：運動エネルギー (1/2) m v^2 を摩擦の仕事で吸収するから。
• 注意：実際は路面や ABS 作動でズレますが、目安として「速度2倍で停止距離は4倍」は覚えやすい。

3) 価格と売上：収益関数は二次になることが多い 💹

• 設定：需要が「価格を上げると直線的に減る」なら q(p) = A – B p。 収益 R(p) = p × q(p) = – B p^2 + A p → 下に開く放物線。
• 使いどころ：頂点 p* = A/(2B) が 売上最大の価格。
• メモ：原価や固定費を入れると「利益」も二次で近似でき、最適価格が同様に求まります。

4) 周の長さが一定の長方形：面積は二次関数で最大が出る 📦

• 設定：周長 L 固定、片辺を x とすると他方は L/2 – x。 面積 A(x) = x (L/2 – x) = -x^2 + (L/2) x（下に開く放物線）
• 結論：頂点で最大 → 正方形が面積最大。
• 身近さ：紐やテープで囲う花壇・掲示スペースを最大化したいときの設計原理。

5) 正方形や円の「面積」は辺長や半径の二乗 📐

• 例：正方形 A = s^2、円 A = π r^2。
• 直感：長さスケールが2Dに広がるから二乗。拡大縮小の感覚に直結。

6) パラボラアンテナ・懐中電灯反射板・集音マイク🔦📡

• 現象：断面が放物線だと、平行光（電波・音）を焦点に集めたり、焦点からの光を平行に反射できる。
• 二次の役割：放物線の反射特性が要。設計図面は y = a x^2 型が基本。

7) 噴水の到達距離と高さの関係（最適角度は45°）💦

• 現象：同じ初速なら、到達水平距離（射程）は角度 θ の関数で R(θ) = ( v0^2 / g ) × sin(2θ) 近くで見ると二次近似でも扱えるし、θ = 45° で最大。
• 直感：上に投げすぎても横に投げすぎても距離が縮む＝頂点で最大という二次的発想。

8) スポーツの弾道設計（サッカーのロングキック、テニスのロブ）⚽🎾

• 現象：空気抵抗を無視すると放物線。
• 応用：最小限の頂点情報（高さ・位置）から、必要な初速や角度を逆算する発想は二次関数の得意技。

9) カーテンのたわみ・ホースのたるみ（近似としての二次）🪟

• 厳密：つり下がり線は「カテナリー（双曲線関数型）」ですが、中央付近の小区間は放物線で近似できます。
• ポイント：多くの物理カーブは「頂点近くは二次近似が効く」。工学の基本テクニックです。

10) 調味料の入れ過ぎ問題＝満足度の二次近似 🍳

• 現象：塩や砂糖は「少なすぎ×／ちょうど良い◎／多すぎ×」。
• モデル：満足度 S(x) は「ちょうど良い量」を頂点に下に開く二次関数で近似できる。
• 示唆：頂点位置＝ベストの分量、左右に外れるほど満足度が落ちる度合いも“二次的”に大きく。

11) カメラの高さと撮影できる見おろし面積（俯瞰）📷

• 現象：高さを h とすると、一定の画角なら見える地面の面積は概ね h^2 に比例。
• 直感：遠くなるほど一辺が比例して伸び、面積は二乗で増える。

12) 折り紙の切り取り最適化🧩

• 設定：縦 L の帯から幅 x を切り取って別用途に回すと、残りの面積は A(x) = -x^2 + L x（＝二次）
• 応用：切る幅の最適化・ロス最小化を「頂点」で判断。

なぜ「二次」になるの？——3つの直感キー

1. 等加速度（重力・摩擦仕事）→ 位置や距離が時間や速度の二乗で決まる。
2. 面積・エネルギーのように「二次元的に広がる量」は二乗で表れやすい。
3. 最適化：左右に外れると損失が増える現象は、頂点を境に上下が対称な“放物線の形”がフィットしやすい。

受験でも仕事でも効く「二次関数の基本ワザ」

• 平方完成（頂点を出す）： y = a x^2 + b x + c = a ( x + b/(2a) )^2 – ( b^2 – 4ac ) / (4a) → 頂点の座標は ( -b/(2a), – ( b^2 – 4ac ) / (4a) )
• 軸：x = -b/(2a)（ここを境に左右対称）
• 増減：a>0 なら最小値を頂点で取り、a<0 なら最大値を頂点で取る。
• 交点：y=0 の解は二次方程式。判別式 D = b^2 – 4ac で解の個数が決まる。

今日からできる観察・ミニ実験（安全最優先で）

• スロー動画で放物線：紙ボールを軽く投げ、フレームごとに座標を取り、近似式を作る。
• 価格と注文数の仮データを作って R(p) を二次で描き、頂点価格を読む。
• 折り紙の最適切り取り：式 A(x) = -x^2 + L x をグラフにし、最大面積の x を確かめる。
• （自転車は歩道で低速・安全に）速度と停止距離の感覚を確認：速度アップで距離が急増することを体で覚える。

まとめ

二次関数は「等加速度・面積（エネルギー）・最適化」の3ワードで覚えると、身の回りの現象が放物線に見えてきます。投げたボールの軌道、止まる距離、アンテナやライトの形、価格設定や切り取りの最適化まで——“頂点を読む”だけで最良解に近づけるのが、二次関数の最大の武器です。日常の“曲線”を見つけたら、「これ、二次で近似できるかな？」と考えてみてください。きっと数学が、ぐっと実用的に感じられます。